2006年10月13日
投てきの物理
明日の学校説明会の準備・清掃のため、７限短縮授業。クラスでは気合を入れて掃除をしたので外庭と廊下がかなり綺麗になった。学生の皆さま、お疲れ様でした。
スポーツで投てきをやっている学生から、「遠くに飛ばすにはどのくらいの角度で投げたら良いのか？」という質問を受けた。「４１°〜４２°くらい」と即座に答えたら「えっ！４５°じゃないの？」と驚いていた。空気抵抗を無視するならば簡単に算出できますぞ。
この話は「高さhの地点から、地面に対してθの角度にv_0の速さで物を投げた。最も遠くに飛ばすための角度はいくらか？」という問題と同じである。
となるので、確かに2θ＝90°、すなわちθ＝45°の時に最も遠くに飛ぶことになる。しかしながら、式（４）の括弧内第２項をみれば分かるように（sinθが分母にあるため）、高さ（リリースポイント）hが存在する場合、xを最大にするθの値は変わってくる。増減表を書いて解析的に求めることも可能であろうが（不可能かも？）、あくまで近似の話なので厳密にする必要もあるまい。サクッと具体的に数値を入れてみる。速さv_0 = 36 [ km/h ] ＝ 10 [ m/s ]、高さh = 170 [ cm ] = 1.70 [ m ]、重力加速度の大きさg = 9.8 [ m/s2 ] として、縦軸にx [ m ]、横軸にθ[°]を取ると図１のグラフになる。θ＝約41°で最大飛距離が出ている。ちなみに初速を半分の18 [ km/h ] ＝ 5 [ m/s ]にして求めたのが図２のグラフである。θ＝約33°で最大飛距離になり、図１の場合に比べてxの最大値をとるθの値が小さくなっていることが分かる。式（４）から明らかなように、初速が速くなれば速くなるほど（ h/v^2 << 1） となりθが45°に近くなる。初速が速くなることで高さhが無視できるということだ。
これらの式を使ってまだまだ遊べるが今日はこの辺で。（2006.10.20追記訂正）
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コメント
こんばんは。
グルグル考えてみたのですが、高さが h よりも低くなって以降の部分が滞空時間全体に占める割合が無視できるほど小さいか、という理解に行き着いたのですが…これってちゃんと読めてるんでしょうか？(^_^;
投稿者 takafumi : 2006年10月14日 01:46
はい、そういうことです。
投げてから地面に到着するまでの時間tをきちんと書いておけば分かりやすかったですね。
t&eq;vsinθ/g*{1+(1+2gh/v^2/sinθ/sinθ)^0.5}
初速が速ければ、ルートの中の第２項が第１項に比べてじゅうぶん小さい、とも言い換えられます！
投稿者 NORI : 2006年10月14日 08:22
半角イコールが「&eq;」になってしまいました(^^;)
「t＝vsinθ/g*{1+(1+2gh/v^2/sinθ/sinθ)^0.5}」です。
投稿者 NORI : 2006年10月14日 08:25
補足ありがとうございます。
ちゃんと読めてたようでよかったです。
というかわたしの書き込みの日本語が変だと今ごろ気づきました。精進します。(^_^;
投稿者 takafumi : 2006年10月14日 13:29
はじめまして。突然失礼いたします。
半角「&eq;」がなぜ&eq;になってしまうのか教えていただけませんか。対策方法などございますか。
某ブログのコメント欄でも不自由していて「&eq;」を検索していてこちらにお邪魔しました。
投稿者 S.H. : 2009年12月26日 11:50
S.H.さん、はじめまして。
半角イコールが「&eq;」になる理由ですが、「該当するブログの仕様がW3Cの定義に従っているから」ということではないかと想像します。よく知りません。あしからず。
全角イコールで入力すると文字への変換にはなりませんが、他の対策方法は知りません。調べないと分からないです。
ちなみに半角イコールで文字になってしまう場合は、半角スペースや半角のアンド「＆」も文字に変換されるのではないかと思います。お気をつけください。
投稿者 NORI : 2009年12月27日 11:27
NORI様
突然の質問でお手数おかけして申し訳ありませんでした。ブログの仕様であれば利用者にはどうしようもないですね。
「W3C」の定義ということですが初心者の私にはまだまだ勉強がたりないということがわかりました。こちらに訪問させていただいたことでこのような仕様があるということがわかったのはとても良かったです。今後の勉強のきっかけにもなると思います。
理系の話題には興味がありますのでまた再訪問させていただきます。本当にありがとうございました。
投稿者 S.H. : 2009年12月27日 13:04